Keby sa vás niekto spýtal, čo je to vlastne čiara, čo by ste mu povedali? Úsečka? Priamka? Kružnica? Jedna moja kamarátka hovorí, že čiara je to, čo za sebou zanechá slimák, keď prejde po ceste. Teda... raz je to úsečka, inokedy kus priamky či kružnice... a väčšinou niečo úplne iné.

 

Základy teórie kriviek

V matematike, ale najmä v geometrii a vo všetkých vedách s ňou súvisiacich, sú čiary veľmi dôležité. Teda aspoň niektoré. Nemám teraz na mysli úsečky a priamky, ale skôr také tie všelijako pokrivené čiary. Nazývajú sa krivky. Keby sme chceli v tejto chvíli napísať, čo to vlastne krivka je, asi by to nebol dobrý nápad. Presná definícia krivky by si vyžadovala veľmi hlboké a podrobné poznatky z mnohých častí geometrie, matematiky či fyziky. Pre naše účely nám úplne postačí mierne upravená, teda trochu odbornejšia definícia od mojej kamarátky. Za krivku budeme považovať trajektóriu – dráhu pohybujúceho sa bodu. Aby sme si mohli niektoré krivky nielen nakresliť, teda zostrojiť, ale aj matematicky popísať, dohodneme sa, že bod, o ktorom hovoríme, sa v čase t pohybuje. Dráha nášho bodu sa mení spolu s pribúdajúcim časom. Hodnotu t nazveme parameter. V odbornej literatúre sa potom dočítame o krivke, ako o nekonečnej množine bodov, ktorých poloha závisí od jediného parametra t. Hovoríme, že krivka je jednoparametrická sústava bodov a matematicky by sme túto skutočnosť vyjadrili parametrickými rovnicami pre jednotlivé súradnice bodov krivky: x=f(t),y=g(t),z=h(t).

Krivky delíme z rôznych pohľadov, napríklad na rovinné a priestorové. Rovinnou krivkou je taká krivka, ktorej všetky body ležia v jednej rovine. Takou je napríklad kružnica. V opačnom prípade hovoríme, že krivka je priestorová. Takou je napríklad strunka vo vašej „prepisovačke“, ak ju budeme vnímať len ako dráhu hmotného bodu, bez ohľadu na jej objem (inak by sme museli už hovoriť o skrutkovej ploche). Najlepšie túto krivku uvidíte, ak ceruzkou urobíte na strunke tenkú čiaru.

Ďalšie rozdelenia kriviek vychádzajú z iných kritérií. Poznáme napríklad krivky empirické, teda tie, pre ktoré poznáme graf, ale nevieme ich matematicky vyjadriť, a potom krivky matematické, teda tie, ktoré sú vyjadrené matematickými rovnicami a podobne.

Nám na začiatok postačí, ak sa zoznámime s niektorými najznámejšími rovinnými krivkami. Aby sme sa s krivkami a ich vlastnosťami oboznámili bližšie, môžeme si niektoré z nich vymodelovať či nakresliť. Potrebujeme ceruzku, papier, mäkkú podložku pod papier, špendlíky, pevnejší drôtik, pevnú niť alebo špagátik, vrchnáky zo zaváracej fľaše, CD-čka... alebo veľmi dobrú predstavivosť. Začneme tým, že si zadefinujeme niektoré základné pojmy, ktoré budeme neskôr používať.

Predstavte si ľubovoľnú jednoduchú krivku k v rovine (môžete si ju nakresliť alebo vymodelovať z drôtika). Každú priamku s, ktorá pretína túto krivku, nazývame sečnica krivky k a body, v ktorých priamka s krivku k pretne, nazveme priesečníky priamky s s krivkou k. Vyberme z krivky k len ten úsek, na ktorom má s priamkou s práve dva spoločné body A, B. Úsečku AB nazývame tetiva krivky k. Ak si túto situáciu vymodelujete z drôtikov, priviažte si jemne „priamku“ o „krivku“ v ich priesečníkoch.

Pozrime sa, čo sa stane s priamkou s, keď začneme bod A po krivke približovať k bodu B až do chvíle, keď splynú. V takomto prípade má krivka na tomto úseku s priamkou jediný spoločný bod, mení sa zo sečnice s na dotyčnicu t a priesečníky splynú do bodu, ktorý nazveme dotykový bod, a označíme ho T. Priamka t (dotyčnica) je limitnou polohou priamky s (sečnice). Kolmicu n zostrojenú na dotyčnicu t v dotykovom bode T krivky ležiacu v rovine krivky k nazývame normála krivky k v bode T.

Zafixujme polohu bodu T a posúvajme bod A po krivke k cez bod T. Ak sledujme pohyb bodu A po priamke AT, môžu nastať dva prípady. Buď sa smer pohybu bodu A po priamke AT po prechode bodom T zmení na opačný – bod T potom nazývame bod vratu, alebo sa smer posúvania nemení a bod T je obyčajným bodom krivky k. Pre lepšiu názornosť si môžeme oba typy kriviek vymodelovať z drôtu, ako sečnicu (v bode T dotyčnicu) použijeme špajdľu alebo rovný kus drôtu. V dotykovom bode špajdľu pripevníme napevno niťou ku krivke. Bod A si vymodelujme ako voľný krúžok z drôtu tak, aby sa mohol po priamke – špajdli – voľne pohybovať pred aj za pevným bodom T. Posúvajme bod A po špajdli a pozorujme zmenu smeru jeho pohybu v prípade bodu vratu.

Iná definícia samotného bodu vratu hovorí, že je to bod, v ktorom krivka prechádza z jednej polroviny určenej dotyčnicou v bode vratu do druhej polroviny.

Pozrime sa podrobnejšie na niektoré typy kriviek.

Kužeľosečky

Kužeľosečky sú jedny z najznámejších rovinných kriviek. Ako už ich názov napovedá, vznikajú „preseknutím“ (rezom) plášťa kužeľa, respektíve kužeľovej plochy. V tomto článku sa budeme zaoberať len tými rezmi, ktoré neprechádzajú vrcholom spomínanej kužeľovej plochy. Navyše sa dohodneme, že pod kužeľovou plochou si nebudeme predstavovať dutý „cestársky“ kužeľ, ktorý sa na zemi začína a vrcholom končí. My si dva takéto duté kužele vo vrchole zlepíme. Presnejší názov pre tento útvar je dvojkužeľ. Modelovanie takého útvaru je veľmi jednoduché: vezmite si kruhový vrchnák na zaváraciu fľašu ľubovoľnej veľkosti, zviažte pevne aspoň 50 špajdlí v strede niťou a postavte ich na stôl do vrchnáka tak, aby sa dotýkali jeho stien. Ak by sme špajdle vedeli nahradiť nekonečne dlhými priamkami, vymodelovali by sme takto práve spomínanú kužeľovú plochu. Na obrázku vidíme, ako by sme potom urobili rez tejto plochy tak, aby vznikli jednotlivé kužeľosečky.

Pomenovanie kužeľosečiek (parabola, hyperbola a elipsa) zaviedol vo svojich ôsmich knihách o kužeľosečkách okolo roku 200 p. n. l. Apolónius z Pergy. Analytickú geometriu kužeľosečiek rozpracoval R. Descartes vo svojej knihe La Geometrie a zaujímavú prácu o bodových konštrukciách kužeľosečiek napísal už Ibrahím Ibn Sinán. Poďme sa teraz pozrieť na tieto krivky podrobnejšie.

Parabola

Parabola je krivka, ktorú tvoria všetky body v rovine rovnako vzdialené od pevne zvolenej priamky a ľubovoľného pevne zvoleného bodu, ktorý na tejto priamke neleží. Zvoľme si v rovine ľubovoľnú priamku d a bod F, ktorý na nej neleží. Hľadáme body, ktoré majú od bodu aj priamky rovnakú vzdialenosť r. Všetky body, ktoré majú od daného bodu F rovnakú vzdialenosť r, ležia na kružnici k so stredom F a polomerom r. Podobne všetky body rovnako vzdialené od priamky d vytvoria dve priamky m a n rovnobežné s priamkou d vo vzdialenosti r. Priamka n, ktorá leží vzhľadom k priamke d v opačnej polrovine ako bod F, nemá s kružnicou k spoločné body, preto sa ňou ďalej nebudeme zaoberať. Priesečníky P, M priamky m a kružnice k sú bodmi paraboly. Takýmto spôsobom a zmenou vzdialenosti r zostrojíme ľubovoľný počet bodov paraboly. Priamku d nazývame určujúca priamka paraboly a bod F ohnisko paraboly. Priamka prechádzajúca ohniskom kolmo na určujúcu priamku je os paraboly a bod, v ktorom os pretína parabolu, je vrcholom paraboly. Priamky FP a PD, ktoré určujú polohu bodu na krivke, nazývame sprievodiče bodu paraboly. Pokúste sa sami určiť podmienky pre možné hodnoty vzdialenosti r.

Parabola v praxi

Jednou z najčastejšie využívaných vlastností paraboly v praxi je skutočnosť, že uhol dopadu lúča na krivku je rovnaký ako uhol odrazu tohto lúča, čo sa prejaví tak, že každý lúč dopadajúci na krivku v smere jej osi sa odrazí priamo do ohniska paraboly. Táto vlastnosť sa najčastejšie využíva pri príjme signálov – satelitné prijímače, parabolické antény a ďalšie, v ktorých sa prijímacie zariadenie umiestňuje práve do ohniska paraboly.

Podľa legendy využil túto vlastnosť aj Archimedes pri obrane Syrakúz, pričom použil parabolické zrkadlá na to, aby nimi odrazil slnečné lúče, a tým podpálil nepriateľské lode. Doterajšie štúdie však skôr ukazujú na nepravdivosť tohto príbehu. Parabolu by sme mohli spozorovať aj pri šikmom vrhu ľubovoľného telesa v prípade, ak by sa pohybovalo v prostredí bez pôsobenia odporovej sily (ohňostroj, vyletujúce sopečné kamene, skákajúca tenisová loptička a podobne).

Hyperbola

Hyperbola je krivka vytvorená zo všetkých bodov v rovine, ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevne zvolených rôznych bodov F1, F2 tejto roviny je konštantný a menší ako vzdialenosť týchto bodov. Podobne ako pri parabole sa môžeme pokúsiť nájsť niekoľko bodov s touto vlastnosťou, teda niekoľko bodov hyperboly. Zvoľme si v rovine dva ľubovoľné rôzne body a označme ich F1, F2. Zvoľme si úsečku AB s dĺžkou menšou ako je vzdialenosť zvolených bodov. Zvoľme bod X na polpriamke AB mimo úsečky AB. Označme dĺžku úsečky |AX|=r1 a |BX|=r2 a zostrojme kružnicu k1 so stredom v bode F1 a polomerom r1 (množinu všetkých bodov, ktoré majú od bodu F1 vzdialenosť r1) a kružnicu k2 so stredom v bode F2 a polomerom r2 (množinu všetkých bodov, ktoré majú od bodu F2 vzdialenosť r2). Zostrojme priesečníky kružníc k1 a k2 a označme ich napríklad M a N. Keďže pre body A, B, X na polpriamke AB platí |AX|-|BX|=r1-r2=|AB| a súčasne pre body M a N platí |MF1|-|MF2|=r1-r2=|AB| a |NF1|-|NF2|=r1-r2=|AB|, môžeme s istotou povedať, že body M a N majú vlastnosť uvedenú na začiatku, a teda sú bodmi hyperboly. Ak zvolíme na polpriamke AB iný bod X, nájdeme ďalšie dva body hyperboly atď. Body druhej časti – vetvy – hyperboly sú priesečníkmi kružníc g1(F1,r2) a g2(F2,r1). Body F1 a F2 nazývame ohniská hyperboly, stred úsečky F1F2 označujeme S a tento bod je zároveň stredom hyperboly. Priamka prechádzajúca ohniskami hyperboly je hlavná os hyperboly, priamka na ňu kolmá vedená bodom S je vedľajšia os hyperboly. Priamky MF1 a MF2, ktoré určujú polohu bodu na krivke, sa nazývajú sprievodiče bodu hyperboly.

Hyperbola v praxi

Hyperbola sa veľmi často využíva najmä v stavebníctve. Plochy, ktorých je súčasťou – rotačný hyperboloid, parabolický hyperboloid, majú totiž okrem zaujímavého dizajnu i výborné statické a iné vlastnosti. Najčastejšie sa využívajú pri stavbe chladiarenských veží a komínov, ale i na zastrešovanie rôznych budov a pri rôznych netypických zaujímavých konštrukciách. Vedeli ste, že konské sedlo je vlastne plocha tvorená práve z hyperbol a parabol?

Elipsa

Elipsa je krivka vytvorená zo všetkých bodov v rovine, ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevne zvolených bodov F1, F2 tejto roviny je konštantný a väčší ako vzdialenosť týchto bodov. Ako pri predchádzajúcich kužeľosečkách nájdime niekoľko bodov s touto vlastnosťou. Zvoľme si v rovine dva ľubovoľné body a označme ich F1, F2. Zvoľme si úsečku AB s dĺžkou väčšou ako je vzdialenosť zvolených bodov. Zvoľme bod X vnútri úsečky AB. Označme dĺžku úsečky |AX|=r1 a |BX|=r2 a zostrojme kružnicu k1 so stredom v bode F1 a polomerom r1 (množinu všetkých bodov, ktoré majú od bodu F1 vzdialenosť r1) a kružnicu k2 so stredom v bode F2 a polomerom r2 (množinu všetkých bodov, ktoré majú od bodu F2 vzdialenosť r2). Zostrojme priesečníky kružníc k1 a k2 a označme ich napríklad M a N. Keďže pre body A, B, X platí |AX|+|BX|=r1+r2=|AB| a súčasne pre body M a N platí |MF1|+|MF2|=r1+r2=|AB| a |NF1|+|NF2|=r1+r2=|AB|, môžeme s istotou povedať, že body M a N spĺňajú vlastnosť uvedenú na začiatku, a teda sú bodmi elipsy. Ak zvolíme na úsečke AB iný bod X, nájdeme ďalšie body elipsy. Body F1 a F2 nazývame ohniská elipsy, stred úsečky F1F2 označujeme S a tento bod nazývame stred elipsy. Priamka prechádzajúca ohniskami elipsy sa nazýva hlavná os elipsy, priamka kolmá na ňu vedená bodom S je vedľajšia os elipsy. Priamky MF1 a MF2, ktoré určujú polohu bodu na krivke, sa nazývajú sprievodiče bodu elipsy.

Elipsu si môžeme veľmi jednoducho nakresliť pomocou špagátu, ceruzky, papiera a dvoch špendlíkov alebo klinčekov. Zapichneme dva špendlíky do dvoch ľubovoľných bodov na papieri. Priviažeme k nim špagátik, ktorého dĺžka je väčšia ako vzdialenosť špendlíkov. Ak budeme držať ceruzku, ktorou kreslíme tak, aby bol špagát medzi špendlíkmi stále napnutý a posúvať ju, narysujeme krásnu elipsu.

Elipsa v praxi

Okrem využitia eliptických tvarov v dizajnérstve bola v minulosti elipsa často využívaná najmä pri výstavbe divadiel a koncertných sál. Elipsa má totiž zaujímavú vlastnosť: Ak by ste sa postavili do jedného jej ohniska, všetko, čo poviete, by veľmi zreteľne počuli ľudia nachádzajúci sa v druhom ohnisku. V astronómii nie je elipsa tiež ničím výnimočným – napríklad obežné dráhy planét vo vesmíre majú tvar elíps.

Najdôležitejšou vlastnosťou kužeľosečiek pre ich využitie v praxi je skutočnosť, že dotyčnica i normála kužeľosečky v jej bode rozpoľuje uhol sprievodičov tohto bodu. Preto môžeme s istotou tvrdiť, že uhol dopadu lúča na krivku sa rovná uhlu odrazu tohto lúča v danom bode.

Miroslava Konrádová