Kinematická geometria v rovine

Geometria skúmajúca pohyb na čisto geometrickom základe, teda nezávisle od času, v ktorom bol vykonaný, sa nazýva kinematická geometria. Keďže pri takomto pohybe nie je dôležitá rýchlosť, nazýva sa často premiestnením.

Rovinná kinematická geometria skúma premiestňovanie nepremenného rovinného útvaru v jeho rovine. Krivky, po ktorých sa pohybujú jednotlivé body pohybujúceho útvaru, nazveme trajektórie – dráhy tohto pohybu. Medzi najznámejšie kinematické rovinné krivky patria špirály, cyklické krivky a konchoidy.

 

Špirály

Špirály vo svojich prácach skúmali už starovekí Gréci. Predstavte si, že do stredu rovnomerne sa otáčajúcej kruhovej platne postavíte mravca, ktorý sa rovnomernou rýchlosťou pohybuje od stredu po polpriamke von z kruhu. Povedzme, že platňu s mravcom otočíme o nejaký uhol α a mravec pritom prejde dráhu dlhú x. Mravec sa teda posúva po polpriamke o dĺžku, ktorá je priamo úmerná uhlu o ktorý sa otočí platňa. Vedeli by ste nakresliť pohyb mravca? Ako vyzerá trajektória jeho pohybu? Takýmto pohybom vzniká rovinná krivka ktorá sa nazýva Archimedova špirála. Túto krivku skúmal už Conon zo Samosu a neskôr okolo roku 225 p. n. l. i Archimedes. Vo všeobecnosti trajektóriou bodu, ktorý v rovine vykonáva posuvný pohyb úmerne spojený s rotačným pohybom, je špirála. V závislosti od spôsobu vytvárania špirály a od typu úmery medzi týmito dvoma pohybmi potom hovoríme o špirále Archimedovej, logaritmickej, hyperbolickej a podobne.

Cyklické krivky

Pomenovanie cykloidy pochádza z gréckeho originálu kykloides. Prvé sledovania cykloíd sa objavili v 16. storočí a urobil ich taliansky fyzik a astronóm G. Galilei. Neskôr sa týmito zaujímavými krivkami a ich vlastnosťami zaoberali aj mnohí iní významní vedci, akými isto boli aj B. Pascal či R. Descartes.

Cyklickým pohybom nazývame pohyb, pri ktorom sa kružnica svojím obvodom kotúľa po svojej dotyčnici alebo po obvode inej kružnice.

Ak sa kružnica k kotúľa po pevnej priamke t, ktorá je jej dotyčnicou, ide o pohyb ortocykloidálny.

Ortocykloidálny pohyb

Ak budeme kotúľať kružnicu k po vonkajšej strane inej nehybnej kružnice h, pôjde o pohyb epicykloidálny.

Epicykloidálny pohyb

Ak budeme menšiu kružnicu k kotúľať po vnútornej strane väčšej nehybnej kružnice h, pôjde o pohyb hypocykloidálny, ak to bude naopak, teda väčšiu kružnicu k budeme jej vnútorným obvodom kotúľať po vonkajšom obvode menšej pevnej kružnice h, pôjde o pohyb pericykloidálny.

Evolventným pohybom nazveme pohyb, pri ktorom sa po pevnej kružnici h kotúľa jej dotyčnica t. Trajektórie bodov pri uvedených pohyboch nazývame ortocykloidy, epicykloidy, hypocykloidy, pericykloidy a evolventy kružnice. Pri pohybe skúmame trajektóriu bodu T, ktorý je vždy spojený s pohybujúcim sa útvarom. Útvar, ktorý sa pohybuje, sa tiež nazýva hybná poloida, útvar, ktorý je pevný, nazývame pevná poloida.

Ortocykloida

Ak by sme v tme pozorovali svetlo upevnené na obvode kolesa bicykla, zistili by sme, že svetelná stopa má tvar základnej ortocykloidy tak, ako ju vidíme na obrázku:

Ak by sme pozorovali svetlo upevnené vnútri kolesa – napríklad na jeho špici, videli by sme krivku, ktorú nazývame skrátená ortocykloida:

Trajektória bodu, ktorý je spojený s kružnicou tak, že leží mimo kruhu ohraničeného touto kružnicou na spojnici so stredom kružnice, sa nazýva predĺžená ortocykloida:

Všetky tri ortocykloidy si môžete veľmi jednoducho vymodelovať pomocou akéhokoľvek okrúhleho vrchnáka (alebo napr. CD-čka), špajdle, papiera a ceruzky.

 

Epicykloida

Epicykloida je krivka, ktorú vytvorí bod pevne spojený s kružnicou h kotúľajúcou sa svojím vonkajším obvodom po vonkajšom obvode inej pevnej kružnice k. Rovnako ako pri ortocykloidách, aj pri tomto pohybe môžeme zostrojiť epicykloidy základné, skrátené i predĺžené. Ukážeme si prípady dvoch rôznych epicykloíd podľa toho, aký je pomer polomeru rk pevnej kružnice a polomeru rh pohybujúcej sa kružnice. Označme m=rk/rh. Ak m=1, teda obe kružnice majú rovnaký polomer, vznikne krivka, ktorú nazývame kardioida. Ak m=2, teda kružnica, ktorú kotúľame, má polomer rovnajúci sa polovici polomeru pevnej kružnice, vznikne nefroida.

Hypocykloidy

Hypocykloida je krivka vytvorená bodom pevne spojeným s kružnicou h, ktorá sa kotúľa svojím vonkajším obvodom po vnútornej strane inej kružnice. Podľa toho, či bod leží na obvode kotúľajúcej sa kružnice, vnútri kruhu či mimo kruhu, ktorý je touto kružnicou ohraničený, opäť hovoríme o hypocykloide základnej, skrátenej alebo predĺženej. Tvar hypocykloidy rovnako ako pri epicykloidách závisí od pomeru polomerov oboch kružníc k a h. Označme opäť m=rk/rh. Ak m=3, vznikne tzv. Steinerova hypocykloida, ak m=4, ide o astroidu.

Pericykloida

Pericykloida vznikne ako trajektória bodu pevne spojeného s kružnicou kotúľajúcou sa svojím vnútorným obvodom po vonkajšom obvode druhej kružnice. Dá sa ukázať, že každá pericykloida je epicykloidou a naopak.

Brachystochrona

Brachystochrona je krivka spájajúca dva body, po ktorej sa hmotný bod najkratšou cestou dostane z jedného bodu do druhého pôsobením gravitačného poľa. Je vždy časťou cykloidy. Prvýkrát tento pojem použil Johann Bernoulli v roku 1696 v časopise Acta Eruditorium.

Model na ilustráciu brachystochrony z 18. storočia z dreva a slonoviny

Evolventa kružnice

Evolventa kružnice je trajektóriou dotykového bodu T, ktorý je pevne spojený s dotyčnicou kotúľajúcou sa po pevnej kružnici, ktorej sa dotýka. Keď si evolventu kružnice zostrojíme, zistíme, že predĺženou evolventou kružnice je vlastne Archimedova špirála. Podobným spôsobom, ako zostrojíme evolventu kružnice, môžeme zostrojiť evolventu akejkoľvek inej rovinnej krivky.

Konchoidy

Konchoidálny pohyb vykonáva priamka m prechádzajúca pevným bodom P v rovine, pričom jej bod Q sa pohybuje po pevnej krivke k. Krivku k nazývame určujúcou krivkou a bod P nazývame pólom konchoidálneho pohybu.

Nikomedova konchoida

Konchoida priamky q pre pól P sa nazýva Nikomedova konchoida. Úplnú konchoidu dostaneme, keď na obidve polpriamky určené bodom Q na pohybujúcej sa priamke m nanášame od bodu Q úsečku konštantnej dĺžky d=|QM|. Označme v=|Pq|, pričom v je kladné reálne číslo. Nikomedova konchoida má dve vetvy. Priamka m je jej asymptotou. Ak v<d, pól P je jej dvojnásobným uzlovým bodom (pozri obrázok), ak v=d, bod P je bodom vratu konchoidy, a ak v>d, pól P je izolovaným bodom.

Versiera

Krivkou nazývanou Versiera sa v roku 1748 preslávila Maria Gaetana Agnusi. Skúmal ju tiež P. Fermat v roku 1666 a G. Grandi v roku 1703. Latinské meno Versoria jej dal G. Grandi a znamená „otáčajúca sa vo všetkých smeroch“. Do taliančiny toto slovo preložil ako Versiera. Keď anglický matematik J. Golson prekladal Mariin text do angličtiny, pomýlil si slovo „la’ versiera“ so slovom „l‘ aversiera“. Slovo „aversiera“ pritom v preklade znamená „ona diabol“. Preto krivku v anglickom znení nájdete pod názvom Witch of Agnesi – Agnesina striga. Zostrojiť Versieru je veľmi jednoduché. Zostrojme dve navzájom kolmé priamky x a y (ak by sme chceli krivku matematicky opísať, bolo by výhodné, aby tieto priamky splývali so súradnicovými osami) a ich priesečník označme O. Označme na priamke y bod S a zostrojme kružnicu so stredom v tomto bode tak, aby sa dotýkala priamky x v bode O. Ďalej označme L druhý priesečník priamky y s kružnicou a zostrojme týmto bodom rovnobežku l s priamkou x. Veďme bodom O ľubovoľnú polpriamku n, jej druhý priesečník s kružnicou označme M a jej priesečník s priamkou l označme N. V poslednom kroku zostrojíme priamku p prechádzajúcu bodom N rovnobežne s priamkou y a priamku m prechádzajúcu bodom M rovnobežne s priamkou x. Priesečník týchto priamok P je už vytvárajúcim bodom Versiery. Ak budeme meniť polohu polpriamky n, budeme postupne tvoriť hľadanú krivku.

Strofoida

Strofoida sa prvýkrát objavuje v práci I. Barlova v roku 1670, hoci ju vo svojich listoch opísal už okolo roku 1645 E. Torricelli. Meno strofoida jej navrhol už v roku 1846 E. Montucci.

Zostrojenie strofoidy je rovnako ako zostrojenie verziéry pomerne jednoduché. Zvoľme v rovine priamku m a na nej dva rôzne body A, P. Bodom A zostrojme priamku q kolmú na priamku m. Bodom P zostrojme priamku b tak, aby nebola s priamkou q rovnobežná a označme B jej priesečník s priamkou q. Narysujme ďalej kružnicu k so stredom v bode B a polomerom r=|AB|. Priesečníky S, R priamky b s kružnicou k sú bodmi strofoidy. Ďalšie body krivky vytvoríme zmenou polohy priamky b.

Štvorlístok

Túto krivku skúmal v rokoch 1723 – 1728 G. Grandi. Majme danú úsečku AB dĺžky a, ktorej konce sa pohybujú po súradnicových osiach x, y. Zostrojme priamku h prechádzajúcu začiatkom súradnicovej sústavy kolmú na úsečku AB. Priesečník H priamky h s úsečkou AB je bodom hľadanej krivky. (Štvorlístok by sme mohli zaradiť aj medzi pericykloidy.)

Pascalova ulita

A. Dűrer bol prvým, kto preskúmal túto krivku, a v roku 1525 vo svojom diele Underweysung der Messung popísal jej konštrukciu. Rovnako o nej premýšľal i syn B. Pascala E. Pascal a G. P. Roberval, ktorý ju v roku 1650 vo francúzštine pomenoval slovom limacon. Toto slovo pochádza z latinského limax, čo znamená slimák. Body krivky zostrojíme pomerne jednoducho. Zvoľme v rovine kružnicu k s polomerom r a na nej dva body P, Q. Zostrojme priamku PQ a na nej body M, N tak, aby platilo |MQ|=|NQ|=d. Tvar krivky potom závisí od pomeru dĺžok r a d. Ďalšie body krivky vzniknú zmenou polohy priamky q.

Dioklesova cisoida

Túto krivku objavil Diokles v roku 180 p. n. l. Pomenovanie cisoida sa prvýkrát objavilo v práci Geminusa o 100 rokov neskôr. Meno popisuje podobnosť so špičkou brečtanového listu – slovo cissos v gréckom jazyku znamená brečtan. Krivka sa objavuje aj v prácach iných známych osobností. Vykresľovaním kriviek súvislým pohybom sa zaoberal I. Newton v diele Arithmetica Universalis v roku 1707. Okrem iného v ňom nájdeme takzvaný Newtonov pohyblivý štvoruholník, ktorým je možné vykresliť strofoidu i Dioklesovu cisoidu. Ak chceme túto krivku zostrojiť, zvoľme si súradnicové osi x, y s priesečníkom O. Zostrojme priamku m, ktorá je s osou y rovnobežná, a jej priesečník s osou x označme M. Označme ďalej A stred úsečky OM a narysujme kružnicu so stredom v bode A a polomerom r=|AM|=|AO|. Veďme bodom O polpriamku l a označme jej priesečník s kružnicou k písmenom R. Nech S je priesečníkom polpriamky l s priamkou m. Cisoidu potom vytvoria body P polpriamky OS, pre ktoré platí |OP=|RS|.

Iné rozdelenie kriviek

Keby sme krivky rozdelili podľa typu pohybu, pri ktorom vznikajú, mohli by sme ich rozdeliť do nasledujúcich kategórií:

Obalové krivky: Krivka, ktorá sa dotýka všetkých kriviek jednoparametrickej sústavy (priamok, kružníc, elíps), sa nazýva obalová plocha. Bod dotyku obalovej krivky s krivkami sústavy sa nazýva charakteristický bod sústavy. Medzi tieto krivky môžeme zaradiť napríklad i hyperbolu alebo už spomínanú astroidu a podobne. Nie každá jednoparametrická sústava kriviek musí mať obálku.

Ekvidištantné krivky: Krivku nazývame ekvidištantnou krivkou inej krivky k, ak sú jej body od bodov krivky k (na normálach krivky v týchto bodoch) vzdialené o konštantnú dĺžku r.

Evolutné krivky: Evolutou krivky k nazývame obálku normál tejto krivky.

Ekvitangenciálne krivky: Krivku q, ktorá má na dotyčniciach krivky k od jej bodov dotyku stále rovnakú vzdialenosť, nazývame ekvitangenciálna krivka danej krivky k.

Úpätnicové krivky: Úpätnicou krivky k nazývame geometrické miesto piat kolmíc spustených na dotyčnice krivky z bodu P, ktorý nazývame pól krivky k.

Konchoidálne, evolventné a cykloidálne krivky sme už spomínali v predchádzajúcich častiach článku.

Mnohé z kriviek by sme mohli zaradiť aj do viacerých skupín.

Astroida ako obalová krivka

Ak budeme úsečkou AB s dĺžkou a pohybovať tak, aby sa jej krajné body pohybovali po súradnicových osiach, vytvoria jej jednotlivé polohy obalovú krivku, o ktorej sme už hovorili v časti o hypocykloidách – astroidu.

Ďalšie zaujímavé krivky

Tento článok nie je dostatočne dlhý na to, aby sa doň zmestili všetky rovinné krivky, ktoré poznáme. Rovnako nie je dostatočne dlhý na to, aby sme sa podrobne venovali všetkým vlastnostiam jednotlivých kriviek. Keby som mala ešte predsa len nejaké na záver spomenúť a odporučiť vám, aby ste si ich vyhľadali a preštudovali ich vlastnosti, boli by to určite tieto: Hippiasova kvadratrix, Cassiniove ovály a Bernoulliho lemniskáta, Piriform, teda hruškovitá krivka, Dvojrohá krivka, Descartov list, krížová krivka, traktrix, Wattova krivka, rôzne druhy trisektrix či rôzne druhy špirál.

Miroslava Konrádová