Článok v pdf

17. ročník korešpondenčnej súťaže časopisu MATMIX sa skončil, na nasledujúcich stránkach vám prinášame vzorové riešenia úloh, ktoré riešitelia vyriešili. Ak sa chcete zapojiť do jej ďalšieho ročníka, sledujte začiatkom nasledujúceho školského roka webovú stránku časopisu www.matmix.sk.

Riešenia 2. série úloh korešpondenčnej súťaže

1. Máme k dispozícii dve vedrá, jedno 17-litrové a druhé 9-litrové, a neobmedzený zdroj vody. Vašou úlohou je do 17-litrového vedra naliať presne 13 litrov vody.

Riešenie: V prvom kroku nalejeme zo zdroja vody 9 litrov vody do 9-litrového vedra a prelejeme z neho všetku vodu do 17-litrového vedra. Opäť naplníme 9-litrové vedro do plna a prelejeme do 17-litrového vedra toľko, aby sa 17-litrové vedro naplnilo do plna. Keďže v ňom už bolo 9 litrov vody, zmestí sa tam ešte 8 litrov. V 9-litrovom vedre nám preto ostane 1 liter vody.

Teraz vylejeme všetku vodu zo 17-litrového vedra a prelejeme doň 1 liter z 9-litrového vedra. Teraz naplníme 9-litrové vedro doplna a prelejeme 9 litrov do 17-litrového vedra. Opäť naplníme 9-litrové vedro a nalejeme do 17-litrového vedra toľko vody, koľko sa doň zmestí. Keďže tam už bolo 1 + 9 = 10 litrov vody, zmestí sa tam ešte 7 litrov vody a v 9-litrovom vedre nám ostanú 2 litre vody. Opäť vylejeme vodu zo 17-litrového vedra a prelejeme tam vodu z 9-litrového vedra, teda 2 litre.

Tento postup zopakujeme ešte dvakrát a dostaneme v 17-litrovom vedre 4 litre vody. Potom už len napustíme do 9-litrového vedra 9 litrov vody a prilejeme ich k tým štyrom a dostaneme v 17-litrovom vedre 13 litrov vody, čo bolo našou úlohou.

2. Doplňte pyramídu tak, aby platilo, že každý prvok je súčet tých dvoch, ktoré sa nachádzajú pod ním (okrem posledného riadku):

Riešenie: Neznáme čísla v pyramíde si označíme a až m podľa obrázku:

Číslo j určíme ľahko, lebo musí platiť j + 8 =12, teda j =12−8 =4. Podobne vypočítame aj hodnotu m, pretože platí 5+m =11, teda m =11−5=6.

Pozrime sa teraz na vrchné tri poschodia pyramídy. Platí:

235 = a + b,
a = 58 + c,
b = 55 + c.

Dosadením 2. a 3. rovnice do prvej dostávame, že platí

235 = (58 + c ) + (c + 55) = 113 + 2c .

Z toho dostaneme, že platí c = (235 - 113)/2 = 61. Potom už vieme dopočítať a a b :

a = 58 + 61 = 119,
b = 61 + 55 = 116.

Neznáme d, e, h určíme rovnakým spôsobom ako neznáme a, b, c, pretože platí

58 = d + e,
d = 12 + h,
e = h + 16.

Analogicky dostávame, že platí

58 = (12 + h) + (h + 16) = 28 + 2h,

z čoho dostaneme, že platí h = (58 - 28)/2 = 15. Potom analogicky dopočítame d a e :

d = 12 + 15 = 27,
e = 15 + 16 = 31.

Podobne pre neznáme f, g, i platí:

55 = f + g,
f = 16 + i,
g = i + 11.

Potom musí platiť aj

55 = (16 + i) + (i + 11) = 27 + 2i,

z čoho dostaneme, že platí i = (55 - 27)/2 = 14. Potom analogicky dopočítame f a g :

f = 16 + 14 = 30,
g = 14 + 11 = 25.

Už chýbajú len neznáme k a l v poslednom riadku. Má platiť 8 + k = 15, teda k = 15−8 = 7, a l + 5 = 14, čiže l = 14−9 = 5. Pyramída po vyplnení vyzerá takto:

3. Určte dĺžku a šírku obdĺžnikovej záhrady, keď viete o nej tieto informácie: Keby šírka zostala taká, aká je, a dĺžka by bola 30 metrov, bol by obsah o 120 m² menší než v skutočnosti. Pri nezmenenej šírke a dĺžke 40 m by mala záhrada obsah o 80 m² väčší než skutočne má.

Riešenie: Dĺžku záhrady si označíme a, šírku b. Obsah záhrady vypočítame ako S =ab. Podľa zadania dostaneme, že má platiť:

30b = ab - 120,
40b = ab + 80.

Keď odpočítame prvú rovnicu od druhej, dostaneme, že platí:

10b = 200,
b = 20.

Dosadením do prvej rovnice dostaneme:

600 = 20a - 120,
720 = 20a,
a = 36.

Dĺžka záhrady je 36 metrov a šírka 20 metrov.

4. Neviem si spomenúť na Tomášovo číslo. Pamätám si len, že:

• Je šesťmiestne.
• Trojciferné číslo tvorené prvými troma ciframi (v takom poradí, ako sú v Tomášovom čísle) je štvrtinou trojciferného čísla tvoreného druhými troma ciframi z Tomášovho čísla (taktiež v poradí).
• Prostredné dve číslice sú rovnaké.
• Druhá číslica je dvojnásobok prvej.
• Tretia číslica je buď dvojnásobok prvej, alebo o 3 väčšia.

Viete zistiť Tomášovo číslo?

Riešenie: Prvá cifra Tomášovho čísla môže byť najviac 2, pretože štvornásobok trojciferného čísla začínajúceho cifrou 3 alebo väčšou je už štvorciferné číslo. To by však nemohlo tvoriť posledné tri cifry Tomášovho čísla. Prvá cifra je teda 1 alebo 2. Rozoberme obe možnosti.

Ak by prvá cifra bola 1, tak druhá cifra je dvojnásobok prvej cifry, teda 2, a tretia cifra je buď 1.2=2, alebo 1+3=4. Ak by bola tretia cifra 2, tak posledné tri cifry Tomášovho čísla by boli 4.122=488. Dostali by sme šesťmiestne číslo 122 488. Lenže toto číslo nevyhovuje tretej podmienke, lebo prostredné dve cifry nie sú rovnaké.

Ak by bola tretia cifra 4, tak posledné tri cifry by boli 4.124=496. Šesťmiestne číslo 124 496 má aj prostredné dve cifry rovnaké, a teda vyhovuje všetkým podmienkam, čo ľahko overíme aj skúškou.

Rozoberme teraz druhú možnosť – ak by bola prvá cifra Tomášovho čísla 2. V takom prípade štvornásobok prvého trojčíslia musí začínať na 8 alebo 9. Lenže tretia číslica je buď 2.2=4 alebo 2+3=5. Tým pádom prostredné dve cifry nemôžu byť rovnaké, a teda Tomášovo číslo určite nemôže začínať cifrou 2.
Úloha má jediné riešenie – Tomášovo číslo je 124 496.

5. Ornament pečate je znázornený na obrázku. Vypočítajte polomer kruhu za predpokladu, že malý obdĺžnik vľavo hore má rozmery 1 cm x 2 cm.

Riešenie: Označme hraničnú kružnicu kruhu ako k, dĺžku jej polomeru ako r a stred S tak, ako na obrázku. Bod X nech je bodom dotyku malého obdĺžnika a kružnice k. Bod Y nech je päta kolmice z bodu X na spojnicu stredu hornej strany štvorca a bodu S.

Keďže bod X patrí kružnici k, platí |SX | = r. Dolná strana malého obdĺžnika je rovnobežná s hornou stranou štvorca a úsečka |XY | tiež. Preto bude úsečka |XY | predĺžením dolnej strany malého obdĺžnika a vzdialenosť bodu Y od hornej strany obdĺžnika bude 1. Potom musí platiť |SY | = r − 1. Keďže dĺžka dolnej strany malého obdĺžnika je 2 a polomer kružnice k je r, musí platiť aj |XY | = r − 2.

Z Pytagorovej vety pre pravouhlý trojuholník SXY postupne dostaneme, že platí:

Dostali sme kvadratickú rovnicu s neznámou r, ktorá má dva korene 1 a 5. Riešenie r = 1 ale nevyhovuje, lebo potom by |XY | = r − 2 = 1 − 2 = −1 bolo záporné číslo, čo nie je možné, keďže ide o dĺžku úsečky. Preto má kruh polomer 5 cm.

6. Dominik pozoroval sedačkovú lanovku na vrcholku magickej hory. Vyhliadol si jednu sedačku a chcel zistiť, za ako dlho urobí celý okruh, teda zo spodnej stanice späť do spodnej stanice. Keď bola jeho sedačka v spodnej stanici, zapol stopky. Spočiatku spodnou stanicou prechádzala každých 8 sekúnd jedna sedačka. No po 3 minútach a 28 sekundách lanovku pustili rýchlejšie a teraz spodnou stanicou prechádzali sedačky každých 5 sekúnd. Keď sa Dominikova sedačka vrátila do spodnej stanice, vypol stopky. Ukazovali 11 minút a 13 sekúnd. Koľko sedačiek mala lanovka?

Riešenie: V čase, keď boli spustené stopky (t. j. v čase 0 sekúnd od začiatku), prechádzala spodnou stanicou prvá sedačka. Najprv prechádzali sedačky spodnou stanicou každých 8 sekúnd, takže v čase 8 sekúnd od začiatku prechádzala druhá sedačka, v čase 16 s =2.8 s tretia sedačka atď. V čase k ×8 sekúnd prechádzala spodnou stanicou (k + 1). sedačka. 3 minúty a 28 sekúnd je 3.60+28 =208=26.8 sekúnd, takže v čase 3 minúty a 28 sekúnd od začiatku prechádzala spodnou stanicou 27. sedačka.

Potom prechádzali sedačky spodnou stanicou každých 5 sekúnd. V čase 208+5=213 sekúnd išla 28. sedačka, v čase 208+2.5=218 sekúnd 29. sedačka atď. V čase 208+k .5 sekúnd od začiatku prechádzala spodnou stanicou (27+k ). sedačka.

Potrebujeme zistiť, koľká sedačka prechádzala spodnou stanicou v čase vypnutia stopiek, teda 11 minút a 13 sekúnd od začiatku. 11 minút a 13 sekúnd je 11.60+13=673 sekúnd. Keďže platí

673 = 208 + 465 = 208 + 93.5

v čase vypnutia stopiek prechádzala spodnou stanicou (27+93) = 120. sedačka. Lenže to už bola prvá Dominikova sedačka, ktorá sa práve vrátila. Preto mala lanovka 119 sedačiek.